2.3.13 Aplicaciones del teorema de Pitágoras y semejanza

Hay varios problemas de geometría estática, de rapideces de variación y optimización en contextos geométricos que requieren el uso combinado o secuenciado, y a veces reiterado, del teorema de Pitágoras y de relaciones entre triángulos semejantes para lograr construir ecuaciones con el fin de determinar incógnitas o relaciones funcionales entre variables. El problema resuelto y el conjunto de problemas propuestos que se presentan en seguida pueden considerarse de esta categoría.

2.3.13.1 El problema del cuadrado

Resolvamos el siguiente problema puramente geométrico. Los triángulos de la figura que sigue son equiláteros de lado 1. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

Solución. Nuestra incógnita es el lado del cuadrado, esta es la incógnita principal, designémoslo con la letra x, representamos los datos y la incógnita en el dibujo. En este problema como en otros, para determinar su valor hay que construir ecuaciones apropiadas, y a través de procedimientos algebraicos obtener su valor.

¿Qué trazos podemos realizar para obtener alguna figura o figuras de las cuales podamos obtener alguna ecuación útil a nuestros propósitos? Esto no se le ocurre a uno fácilmente, es realmente un proceso intelectual complejo difícil de describir. Pero uno debe partir de algo y hacerlo explícito. Partamos de que queremos usar semejanza de triángulos, con el fin de construir una ecuación usando sus lados correspondientes, pero, ya que en el dibujo no vemos triángulos semejantes, entonces debemos de construirlos, es preciso entonces hacer trazos. Hagamos los trazos siguientes, una altura vertical y un segmento vertical del vértice de uno de los triángulos al lado horizontal inferior del cuadrado,

Hemos construido dos triángulos rectángulos semejantes. Dibujémoslos por separado:

¿De ellos qué lados conocemos?: El grande tiene cateto horizontal 1/2, hipotenusa 1 y cateto vertical , ¿por qué?. Pero los lados del triángulo pequeño, los desconocemos, son incógnitas, denotémoslos con las letras y, z, y w. Estas se llaman incógnitas auxiliares, nos servirán para construir ecuaciones que relacionen los datos con la incógnita principal x.

Ahora iniciemos un proceso de reducción del número de incógnitas auxiliares, esto se logra expresando alguna incógnita auxiliar en términos de la principal, la x, o construyendo ecuaciones e eliminarlas con procesos algebraicos. Para ello debemos representar en el dibujo de los datos encontrados y las incógnitas auxiliares en el dibujo, ver atenta y detenidamente el dibujo. A veces es necesario invertir relativamente mucho tiempo para lograr descubrir una relación útil. Acá vemos simetría, esto hay que usarlo. ¿ya observó?

Aquí debemos ver que , esta es una relación útil, en el sentido de que la z está en términos de la incógnita principal: x.

Ahora podemos construir una ecuación entre los lados correspondientes de los triángulos semejantes, ¿Pero cuál de ellas, si podemos construir varias?. Frecuentemente uno construye ecuaciones que no le sirven para nada, son intentos abortados y deben ser abandonadas. Construyamos la siguiente: (Eso se los digo porque yo ya se que esa es la apropiada)

Esta ecuación tiene dos incógnitas: la principal x y la auxiliar y. ahora, tratemos de construir otra ecuación, no equivalente a la construida, que contenga estas dos misma incógnitas, luego resolver este sistema de dos por dos, hacia eso vamos.

Ahora nuevamente nos preguntamos: ¿conocemos los lados de este triángulo rectángulo?. Veamos atenta y cuidadosamente la figura y notemos que , la hipotenusa mide 1, el cateto vertical mide , y el cateto horizontal mide y + 1 – x.

Usando el teorema de Pitágoras construimos la ecuación:

Resolviendo el sistema de ecuaciones de dos por dos anteriores,  obtenemos la respuesta, el lado del cuadrado debe medir:

Observaciones:(a) El problema anterior puede aceptar otras maneras de resolución distintas a la presentada. (b) La secuencia de actividades que realizamos en la resolución presentada, difícilmente coincide con la secuencia real cuando uno esta resolviendo el problema. La secuencia fue organizada con fines de su enseñanza. (c) Probablemente, Ud. ya se dio cuenta que y + x -1 = 1/2, esta ecuación nos evitaría utilizar el teorema de Pitágoras, en realidad el usar este última ecuación agiliza el proceso algebraico involucrado. No utilizamos esta ecuación porque lo que queríamos era mostrar el uso secuenciado o combinado de la semejanza de triángulos y del teorema de Pitágoras, como vemos el problema fue resuelto ignorando esta ecuación.